Закон инерции квадратичной формы. "деньги" продолжают мониторить доходность финансовых инструментов Положительно определённые квадратичные формы

Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали выше, что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.

Пусть форма в базисе определяется матрицей :

, (4.20)

где – координаты вектора в базисе е . Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду

причем – отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты – отрицательные:

, , …, , , …, .

Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат :

В результате этого преобразования форма примет вид

называемый нормальным видом квадратичной формы.

Теорема 4.5 (закон инерции квадратичных форм) . Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Следствие. Две квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда ранги форм равны, положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.

Классификация квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов (положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной). При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным индексом инерции – число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции – число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Отрицательный и положительный индексы инерции связаны соотношением , а пара или называется сигнатурой квадратичной формы.

Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны , и (). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:

где – координаты вектора в базисе .

Пример 6 Найти нормальный вид и сигнатуру квадратичной формы

Канонический вид этой формы имеет вид: . Положим , , . Тогда . Это нормальный вид квадратичной формы. Положительный индекс инерции: , отрицательный индекс инерции . Следовательно, сигнатура квадратичной формы .

Теорема 4.6 (необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма , заданная в n-мерном линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции , либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства L. При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.

Замечание . Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.

Теорема 4.7 (необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Теорема 4.8 (необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы форма была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо , , либо , .

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма в базисеопределяется матрицей : и пусть , , …, – угловые (главные) миноры и определитель матрицы . Справедливо следующее утверждение:

Теорема 4.9 (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства , , …, .

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем .

Следствие 1 Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры четного порядка были положительны и все угловые миноры нечетного порядка были отрицательны или, иначе, были выполнены неравенства , , …, , .

Следствие 2 Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные (не только угловые) миноры ее матрицы были неотрицательны.

Следствие 3 Для того чтобы квадратичная форма была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны и все главные миноры нечетного порядка были неположительны.

Следствие 4 Для того чтобы квадратичная форма была неопределенной (знакопеременной), необходимо и достаточно, чтобы у ее матрицы существовали отрицательный главный минор четного порядка и два главных минора нечетных порядков разных знаков.

Пример 7 Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность:

1) Для матрицы квадратичной формы найдем все угловые миноры

В этом случае опять только по значениям угловых миноров дать ответ нельзя. Найдем все главные миноры. Не угловые главные миноры первого порядка равны 2 и 4. Не угловые главные миноры второго порядка , . Имеется отрицательный главный минор четного порядка. Поэтому квадратичная форма неопределенная.

Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Нормальный вид квадратичной формы. Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы. Положительно определенная квадратичная форма. Квадрики.

Понятие квадратичной формы: функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Матрица квадратичной формы: Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .

Написать матрицу квадратичной формы:

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид:

Канонический вид квадратичной формы: Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

Метод Лагранжа : последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

Нормальный вид квадратичной формы: Нормальной квадратичной формой называется такая каноническая квадратичная форма, у которой все коэффициенты равны +1 или -1.

Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы: Рангом квадратичной формы А называется ранг матрицы А . Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Количество отрицательных коэффициентов - называется отрицательным индексом формы.

Число положительных членов в каноническом виде называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных членов - отрицательным индексом. Разность между положительным и отрицательным индексами называетсясигнатурой квадратичной формы

Положительно определенная квадратичная форма: Вещественная квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных

В этом случае матрица также называется положительно определенной (отрицательно определенной).

Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.

Квадрики: Квадрик — n -мерная гиперповерхность в n +1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x 1 , x 2 , x n +1 } (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид

Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:

где x = {x 1 , x 2 , x n +1 } — вектор-строка, x T — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n +1)×(n +1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительнымиили комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.

Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.

Преобразования плоскости и пространства.

Определение преобразования плоскости. Определение движения. свойства движения. Два вида движений: движение I рода и движение II рода. Примеры движений. Аналитическое выражение движения. Классификация движений плоскости (в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых). Группа движений плоскости.

Определение преобразования плоскости: Определение. Преобразование плоскости сохраняющее расстояние между точками называется движением (или перемещением) плоскости. Преобразование плоскости называется аффинным , если оно любые три точки, лежащие на одной прямой переводит в три точки также лежащие на одной прямой и при этом сохраняет простое отношение трех точек.

Определение движения: это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Свойства движения: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Два вида движений: движение I рода и движение II рода: Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.

Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.

Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.

Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.

Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.

Примеры движений: Параллельный перенос . Пусть а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М 1 , что вектор MМ 1 равен вектору а.

Параллельный перенос является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Наглядно это движение можно представить как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.

Поворот . Обозначим на плоскости точку О (центр поворота ) и зададим угол α (угол поворота ). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М 1 , что ОМ = ОМ 1 и угол MOМ 1 равен α. При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении — по часовой стрелке или против часовой стрелки (на рисунке изображен поворот против часовой стрелки).

Поворот является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.

Аналитическое выражение движения: аналитическая связь, между координатами прообраза и образа точки имеет вид (1).

Классификация движений плоскости (в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых): Определение:

Точка плоскости инвариантной (неподвижной), если при данном преобразовании она переходит в себя.

Пример: При центральной симметрии инвариантной является точка центра симметрии. При повороте инвариантной является точка центра поворота. При осевой симметрии инвариантной является прямая — ось симметрии — это прямая инвариантных точек.

Теорема: Если движение не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одно инвариантное направление.

Пример: Параллельный перенос. Действительно, прямые, параллельные этому направлению инвариантных как фигура в целом, хотя не состоит из инвариантных точек.

Теорема: Если движется какой-то луч, луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно прямой содержащей данный луч.

Поэтому по наличию инвариантных точек или фигур можно провести классификацию движений.

Название движения	Инвариантные точки	Инвариантные прямые
Движение I рода.
1. - поворота	(центр) - 0	нет
2. Тождественное преобразование	все точки плоскости	все прямые
3. Центральная симметрия	точка 0 - центр	все прямые, проходящие через точку 0
4. Параллельный перенос	нет	все прямые
Движение II рода.
5. Осевая симметрия.	множество точек	ось симметрии (прямая ) все прямые

Группа движений плоскости: В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура переходит в себя.

Это множество является группой. Например, для равностороннего треугольника группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы вокруг точки и симметрий относительно трех прямых.

Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы группы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение треугольника переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. может быть условно вписано в виде одной из таких скобок:

где числами 1, 2, 3 обозначены номера тех вершин, в которые переходят вершины 1, 2, 3 в результате рассматриваемого движения.

Проективные пространства и их модели .

Понятие проективного пространства и модели проективного пространства. Основные факты проективной геометрии. Связка прямых с центром в точке O - модель проективной плоскости . Проективные точки. Расширенная плоскость - модель проективной плоскости. Расширенное трехмерное аффинное или евклидово пространство - модель проективного пространства . Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании.

Понятие проективного пространства и модели проективного пространства:

Проективное пространство над полем — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некотороголинейного пространства над данным полем. Прямые пространства называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело

Если имеет размерность , то размерностью проективного пространства называется число , а само проективное пространство обозначается и называется ассоциированным с (чтобы это указать, принято обозначение ).

Переход от векторного пространства размерности к соответствующему проективному пространству называется проективизацией пространства .

Точки можно описывать с помощью однородных координат.

Основные факты проективной геометрии: Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и салгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как Евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности».

Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (т.е. когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более "глубоко лежащие" свойства геометрических фигур, которые сохраняются при преобразованиях более общего типа, чем движение. Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариатных при классе проективных преобразований , а также самих этих преобразований.

Проективная геометрия дополняет Евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений.

Есть три главных подхода к проективной геометрии: независимая аксиоматизация, дополнение Евклидовой геометрии , и структура над полем.

Аксиоматизация

Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом.

Коксетер предоставляет следующие:

1. Существует прямая и точка не на ней.

2. На каждой прямой есть по крайней мере три точки.

3. Через две точки можно провести ровно одну прямую.

4. Если A , B , C , и D — различные точки и AB и CD пересекаются, то AC и BD пересекаются.

5. Если ABC — плоскость, то существует по крайней мере одна точка не в плоскости ABC .

6. Две различные плоскости пересекаются по крайней мере в двух точках.

7. Три диагональные точки полного четырёхугольника не коллинеарны.

8. Если три точки на прямой X X

Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:

1. Через две точки можно провести ровно одну прямую.

2. Любые две прямые пересекаются.

3. Существует четыре точки, из которых нет трёх коллинеарных.

4. Три диагональные точки полных четырёхугольников не коллинеарны.

5. Если три точки на прямой X инвариантны по отношению к проективности φ, то все точки на X инвариантны по отношению к φ.

6. Теорема Дезарга : Если два треугольника перспективны сквозь точку, то они перспективны сквозь прямую.

При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана без введения идеальных точки и прямой.

Расширенная плоскость - модель проективной плоскости: возьмем в аффинном простран- стве A3 связку прямых S(O) с центром в точке O и плоскость Π, не проходя- щую через центр связки: O 6∈ Π. Связка прямых в аффинном пространстве является моделью проективной плоскости. Зададим отображение множества точек плоскости Π на множество прямых связки S (Бля, молись если достался этот вопрос, прости)

Расширенное трехмерное аффинное или евклидово пространство - модель проективного пространства :

Для того, чтобы сделать отображение сюръективным, повторим процесс формального расширения аффинной плоскости Π до плоскости проективной, Π, дополняя плоскость Π множеством несобственных точек {M∞} таким, что: ({M∞}) = P0(O). Поскольку в отображении прообразом каждой плоскости связки плоскостей S(O) является прямая на плоскости d, то очевидно, что множество всех несобственных точек расширенной плоскости: Π = Π ∩ {M∞}, {M∞}, представляет собой несобственную прямую d∞ расширенной плос- кости, являющуюся прообразом особой плоскости Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Договоримся, что последнее равенство P0(O) = Π0 здесь и в дальнейшем мы будем понимать в смысле равенства множеств точек, но наделенных раз- личной структурой. Дополнив аффинную плоскость несобственной прямой, мы добились того, что отображение (I.21) стало биективным на множестве всех точек расширенной плоскости:

Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании:

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование. Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A , не принадлежащую прямой l , проведем прямую, параллельную прямой l . Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l . Обозначим ее A ". Если точка A принадлежит прямой l , то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p.

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A " на плоскость p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.

Группа проективных преобразований. Приложение к решению задач.

Понятие проективного преобразования плоскости. Примеры проективных преобразований плоскости. Свойства проективных преобразований. Гомология, свойства гомологии. Группа проективных преобразований.

Понятие проективного преобразования плоскости: Понятие проективного преобразования обобщает понятие центральной проекции. Если выполнить центральную проекцию плоскости α на некоторую плоскость α 1 , затем проекцию α 1 на α 2 , α 2 на α 3 , … и, наконец, какой-то плоскости α n опять на α 1 , то композиция всех этих проекций и есть проективное преобразование плоскости α; в такую цепочку можно включить ипараллельные проекции.

Примеры проективных преобразований плоскости: Проективным преобразованием пополненной плоскости называется ее взаимно-однозначное отображение на себя, при котором сохраняется коллинеарность точек, или, другими словами, образом любой прямой является прямая. Всякое проективное преобразование есть композиция цепочки центральных и параллельных проекций. Аффинное преобразование - это частный случай проективного, при котором бесконечно удаленная прямая переходит сама в себя.

Свойства проективных преобразований:

При проективном преобразовании три точки не лежащие на прямой переходят в три точки не лежащие на прямой.

При проективном преобразовании репер переходит в репер.

При проективном преобразовании прямая переходит в прямую, пучок переходит в пучок.

Гомология, свойства гомологии:

Проективное преобразование плоскости, которое имеет прямую инвариантных точек, а значит, и пучок инвариантных прямых называется гомологией.

1. Прямая, проходящая через несовпадающие соответственные точки гомологии, является инвариантной прямой;

2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки гомологии, принадлежат одному пучку, центр которого является инвариантной точкой.

3. Точка, ее образ и центр гомологии лежат на одной прямой.

Группа проективных преобразований: рассмотрим проективное отображение проективной плоскости P 2 на себя, то есть проективное преобразование этой плоскости (P 2 ’ = P 2).

Как и прежде композицией f проективных преобразований f 1 и f 2 проективной плоскости P 2 назовем результат последовательного выполнения преобразований f 1 и f 2: f = f 2 °f 1 .

Теорема 1: множество H всех проективных преобразований проективной плоскости P 2 является группой относительно композиции проективных преобразований.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: [email protected]
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Закон инерции квадратичных форм
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм

1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.
Пусть форма А(х, х) в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n ) определяется матрицей А(е) = (а ij ):

где ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n - координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду

причем λ 1 , λ 2 ,..., λ k - отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые q из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты - отрицательные:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q > 0, λ q+1 < 0, ..., λ k <0.

Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат μ i (легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля) :

В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид

называемый нормальным видом квадратичной формы.
Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n вектора х в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n )

(это преобразование представляет собой произведение преобразований ξ в μ и μ в η пo формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Доказательство. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду

Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства р = q.
Пусть р > q. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что по отношению к базисам, в которых форма А(х, х) имеет вид (7.31) и (7.33), координаты η 1 , η 2 , ..., η q и ζ р+1 , ..., ζ n этого вектора равны нулю:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)

Так как координаты η i получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат ξ 1 , ..., ξ n , а координаты ζ i - с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат ξ 1 , ..., ξ n , то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат ξ 1 , ..., ξ n искомого вектора х в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n ) (например, в развернутом виде соотношение η 1 = 0 имеет, согласно (7.32), вид а 11 ξ 1 + а 12 ξ 2 + а 1 n ξ n = 0)- Так как р > q, то число однородных уравнений (7.34) меньше n , и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат ξ 1 , ..., ξ n искомого вектора х. Следовательно, если р > q, то существует ненулевой вектор х, для которого выполняются соотношения (7.34).
Подсчитаем значение формы А(х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям (7.31) и (7.33), получим

Последнее равенство может иметь место лишь в случае η q+1 = ... = η k = 0 и ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0 .
Таким образом, в некотором базисе все координаты ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ n ненулевого вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7.34)), т.е. вектор х равен нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. По аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р < q.
Итак, р = q. Теорема доказана.
2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 §2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.
В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадрата формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов. При этом индексом инерции квадратичной формы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы А(х, х) соответственно равны k , p и q (k = p + q).B предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе f = (f 1 , f 2 , ..., f n) эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:

где η 1 , η 2 , ..., η n - координаты вектора х в базисе f .
1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма А(х, х), заданная в n -мерном линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции q был равен размерности n пространства L.
При этом, если р = n , то форма положительно определенная, если же q = n, то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид

А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 .

Если при этом р < n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

форма А(х, х) обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р = n .
2) Достаточность. Пусть р = n . Тогда соотношение (7.35) имеет вид А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 . Ясно, что А(х, х) ≥ 0, причем, если А = 0, то η 1 = η 2 = ... = η n = 0, т. е. вектор х нулевой. Следовательно, А(х, х) - положительно определенная форма.
Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду.
2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы. Докажем следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление G.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть р ≠ 0 и q ≠ 0. Тогда для вектора x 1 , с координатами η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 имеем А(х 1 x 1) > 0, а для вектора х 2 с координатами η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 имеем А(х 2 , х 2) < 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы форма А(х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо р < n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы. Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно квазизнакоопределенная. Тогда, очевидно, q = 0 и р < n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Достаточность. Если р < n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 имеем А(х, х) = 0, т.е. А(х, х) - положительно квазизнакоопределенная форма.
3. Критерий Сильвестра (Джемс Джозеф Сильвестр (1814-1897) - английский математик) знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А(х, х) в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n ) определяется матрицей А(е) = (а ij ):

и пусть Δ 1 = а 11 , - угловые миноры и определитель матрицы (а ij ). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем Δ 1 < 0.
Доказательство. 1) Необходимость. Докажем сначала, что из условия знакоопределенности квадратичной формы А(х, х) следует Δ i ≠ 0 , i = 1, 2,..., n .
Убедимся, что предположение Δ k = 0 ведет к противоречию - при этом предположении существует ненулевой вектор х, для которого А(х, х) = 0, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, пусть Δ k = 0. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:

Так как Δ k - определитель этой системы и Δ k = 0, то система имеет ненулевое решение ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (не все ξ i равны 0). Умножим первое из уравнений (7.36) на ξ 1 , второе на ξ 2 , ..., последнее на ξ k и сложим полученные соотношения. В результате получим равенство , левая часть которого представляет собой значение квадратичной формы А(х, х) для ненулевого вектора х с координатами (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, мы убедились, что Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n . Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения формы А(х, х) к сумме квадратов (см. теорему 7.4) и воспользоваться формулами (7.27) для канонических коэффициентов λ i . Если А(х, х) - положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Если же А(х, х) - отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем Δ 1 < 0.
2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры Δ i в формулировке теоремы. Так как Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n , то форму А можно привести к сумме квадратов методом Якоби (см. теорему 7.4), причем канонические коэффициенты λ i могут быть найдены по формулам (7.27). Если Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, то из соотношений (7.27) следует, что все λ i > 0, т. е. форма А(х, х) положительно определенная. Если же знаки Δ i чередуются и Δ 1 < 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A (x , x ) приводится к каноническому виду. На самом деле не меняется и число положительных и отрицательных коэффициентов.

Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм) . Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду.

Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n двумя способами приведена к нормальному виду, то есть

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Можно доказать, что k = l .

Определение 11.14. Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится действительная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы; число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции , а их сумма – индексом инерции квадратичной формы или сигнатурой формы f .

Если p – положительный индекс инерции; q – отрицательный индекс инерции; k = r = p + q – индекс инерции.

Классификация квадратичных форм

Пусть у квадратичной формы A (x , x ) индекс инерции равен k , положительный индекс инерции равен p , отрицательный индекс инерции равен q , тогда k = p + q .

Было доказано, что в любом каноническом базисе f = {f 1 , f 2 , …, f n } эта квадратичная форма A (x , x ) может быть приведена к нормальному виду A (x , x ) = + + … + –
– … – , где  1 ,  2 , …,  n координаты вектора x в базисе {f }.

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы

Утверждение 11.1. A (x , x ), заданная в n V , была знакоопределенной , необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции p , либо отрицательный индекс инерции q , был равен размерности n пространства V .

При этом если p = n , то форма положительно x ≠ 0 A (x , x ) > 0).

Если же q = n , то форма отрицательно определена (то есть для любого x ≠ 0 A (x , x ) < 0).

Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы

Утверждение 11.2. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была знакопеременной (то есть существуют такие x , y что A (x , x ) > 0 и A (y , y ) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы

Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была квазизнакопеременной (то есть для любого вектора x или A (x , x ) ≥ 0 или A (x , x ) ≤ 0 и найдется такой ненулевой вектор x , что A (x , x ) = 0) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух соотношений: p < n , q = 0 или p = 0, q < n .

Замечание . Для того чтобы применять эти признаки, квадратичную форму надо привести к каноническому виду. В критерии знакоопределенности Сильвестра 15 этого не требуется.

Итак, согласно теореме о приведении квадратичной формы, для любой квдратичной формы \(A(x,x)\) существует канонический базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\), так что для любого вектора \(x\), \[ x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \] Так как \(A(x,x)\) вещественно-значна, и наши замены базиса также включают только вещественные числа, приходим к выводу, что числа \(\lambda _k\) вещественны. Среди этих чисел есть положительные, отрицательные и равные нулю.

Определение. Число \(n_+\) положительных чисел \(\lambda _k\) называется положительным индексом квадратичной формы \(A(x,x)\) , число \(n_-\) отрицательных чисел \(\lambda _k\) называется отрицательным индексом квадратичной формы , число \((n_++n_-)\) называется рангом квадратичной формы . Если \(n_+=n\), квадратичная форма называется положительной .

Вообще говоря, приведение квадратичной формы к диагональному виду реализуется не единственным образом. Возникает вопрос: зависят ли числа \(n_+\), \(n_-\) от выбора базиса, в котором квдратичная форма диагональна?

Теорема (Закон инерции квадратичных форм). Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от способа приведения ее к каноническому виду.

Пусть имеется два канонических базиса, \(\{f\}\), \(\{g\}\), так что любой вектор \(x\) представляется в виде: \[ x=\sum_{k=1}^n\eta _kf_k=\sum _{m=1}^n\zeta _mg_m, \] причем \[ A(x,x)=\sum_{k=1}^n\lambda _k\eta _k^2=\sum _{m=1}^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Пусть среди \(\lambda _k\) первые \(p\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нули, среди \(\mu_m\) первые \(s\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нулевые. Нам необходимо доказать, что \(p=s\). Перепишем (71): \[ \sum_{k=1}^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _{m=s+1}^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_{k=p+1}^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _{m=1}^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] так что все слагаемые в обеих частях равенства неотрицательны. Предположим, что \(p\) и \(s\) не равны, например, \(p

Мы доказали, что совпадают положительные индексы. Аналогично можно доказать, что совпадают и отрицательные индексы. ч.т.д.

1. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные формы:

а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);